Calcule:
integral-1^0(x^3+x+1x^3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função que mistura polinômios e potência negativa de x, ou seja, \ trata-se de um caso de integral imprópria em que vai aparecer uma descontinuidade em x = 0. O conteúdo aqui é integral imprópria e soma de integrais, e vamos precisar usar antiderivadas e limites para lidar com a parte de 1/x^3.

Passo 2

Vamos escrever a integral como soma de três integrais mais simples:
integral-1^0l(x^3 + x + x^-3r),dx = integral-1^0x^3,dx + integral-1^0x,dx + integral-1^0x^-3,dx

Passo 3

Observando que x^-3=1/x^3 fica indefinido em x=0, definimos a última integral como limite:
integral-1^0x^-3,dx = limbto 0^- integral-1^b x^-3,dx

Passo 4

Agora calculamos as antiderivadas:
Para x^3: integral x^3,dx = x^4/4 + C.
Para x: integral x,dx = x^2/2 + C.
Para x^-3: integral x^-3,dx = integral x^-3,dx = x^-2/(-2) + C = -tfrac12x^2 + C

Passo 5

Montando a primitiva geral:
F(x) = x^44 + x^22 - 12x^2

Passo 6

Vamos avaliar cada parte:
  1. integral-1^0x^3,dx = [x^4/4]-1^0 = 0 - tfrac(-1)^44 = -tfrac14
  2. integral-1^0x,dx = [x^2/2]-1^0 = 0 - tfrac(-1)^22 = -tfrac12
  3. Para a parte imprópria: integral-1^0x^-3,dx = limbto 0^- l[-tfrac12x^2r]-1^b = limbto 0^- l(-tfrac12b^2 + tfrac12r) Quando bto 0^-, 1/b^2to +infty, então -1/(2b^2)to -infty.

Passo 7

Como uma das parcelas diverge para -infty), a integral imprópria não converge para valor finito. Logo, a integral original diverge.

Passo 8

Portanto, o valor da integral é divergente, não existe número real que a represente.

Resposta

A integral é imprópria e diverge (vai para -infty), ou seja, não possui valor finito.

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