Seja
.
Encontre a inversa de
.
Encontre a inversa de
Passo 1
Beleza, então a gente tem a função $ f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) $ e a tarefa é encontrar a função inversa dessa. Basicamente, vamos trabalhar com funções inversas, que são aquelas que desfazem a ação da função original. Para isso, a gente precisa entender como trocar as variáveis e resolver para a nova variável. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos começar definindo que $ y = f(x) $. Então, temos:
Aqui, $ \ln $ é o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial.
Passo 3
Agora, o próximo passo para achar a inversa é trocar $ y $ por $ x $ e $ x $ por $ y $. Isso porque queremos expressar $ x $ em termos de $ y $. Ficaria assim:
Mas vamos resolver isso para $ y $.
Passo 4
Para resolver a equação para $ y $, vamos primeiro eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
Aqui, $ e^{x} $ é a função exponencial.
Passo 5
Agora, vamos isolar a parte com a raiz. Subtraímos $ y $ de ambos os lados:
Para tirar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Expandindo o lado esquerdo:
Aqui, $ e^{2x} $ é simplesmente $ (e{x}){2} $.
Passo 7
Simplificando a equação, podemos eliminar $ y^{2} $ de ambos os lados:
Agora, vamos isolar $ y $.
Passo 8
Reorganizando a equação para resolver para $ y $:
Dividindo ambos os lados por $ -2 e^{x} $:
Resposta
A função inversa de $ f(x) $ é: