Seja f(x)=ln (x+raizx^2+1).
Encontre a inversa de f.

Passo 1

Beleza, então a gente tem a função $ f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) $ e a tarefa é encontrar a função inversa dessa. Basicamente, vamos trabalhar com funções inversas, que são aquelas que desfazem a ação da função original. Para isso, a gente precisa entender como trocar as variáveis e resolver para a nova variável. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos começar definindo que $ y = f(x) $. Então, temos:
y = f(x)
Aqui, $ \ln $ é o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial.

Passo 3

Agora, o próximo passo para achar a inversa é trocar $ y $ por $ x $ e $ x $ por $ y $. Isso porque queremos expressar $ x $ em termos de $ y $. Ficaria assim:
y
Mas vamos resolver isso para $ y $.

Passo 4

Para resolver a equação para $ y $, vamos primeiro eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
y
Aqui, $ e^{x} $ é a função exponencial.

Passo 5

Agora, vamos isolar a parte com a raiz. Subtraímos $ y $ de ambos os lados:
y
Para tirar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
e^x - y = raizy^2 + 1

Passo 6

Expandindo o lado esquerdo:
e^2x - 2y e^x + y^2 = y^2 + 1
Aqui, $ e^{2x} $ é simplesmente $ (e{x}){2} $.

Passo 7

Simplificando a equação, podemos eliminar $ y^{2} $ de ambos os lados:
y^2
Agora, vamos isolar $ y $.

Passo 8

Reorganizando a equação para resolver para $ y $:
y
Dividindo ambos os lados por $ -2 e^{x} $:
-2y e^x = 1 - e^2x

Resposta

A função inversa de $ f(x) $ é:
f(x)

Exercícios relacionados