Usando a regra da cadeia, calcule f^prime(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=e^sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=e^{sen(2x)} usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivada de função composta, e vamos precisar da derivada de e^{u}, de sen(v) e de 2x.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para f(x)=e^{u} com u=sen(2x). Assim,
f'(x)=e^ucdot u'

Passo 3

Agora derivamos u=sen(2x). Para isso usamos que (sen(v))’=cos(v)·v’. Logo,
u'=ddxl(sin(2x)r)=cos(2x)cdotddx(2x)

Passo 4

Por fim, derivamos v=2x:
$$\frac{d}{dx}(2x)=2
$$

Passo 5

Substituindo esse resultado em u’ e depois em f’(x), temos:
u'=cos(2x)cdot2=2cos(2x)
f'(x)=e^sin(2x)cdot2cos(2x)=2cos(2x)e^sin(2x)

Resposta

f'(x)=2cos(2x)e^sen(2x)

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