Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
alpha(t)=(a(cos t+t sen t), a(sen t-t cos t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada alpha(t)=(a(cos t+tsin t),,a(sin t-tcos t),,0<= t<=2pi) e pede o comprimento do arco percorrido. Esse conteúdo faz parte de curvas parametrizadas e vamos usar a fórmula do comprimento de arco
A fórmula de comprimento de arco para uma curva alpha(t) é
L=integralt0^t1!llVertalpha'(t)rrVert,dt
e precisamos calcular alpha'(t) e então lVertalpha'(t)rVert.

Passo 2

Derivando cada componente de alpha(t):
alpha'(t)=l(x'(t),y'(t)r)
com
x'(t)=al(-sin t+sin t+tcos tr)=a,tcos t, y'(t)=al(cos t-cos t+tsin tr)=a,tsin t

Passo 3

Calculando o módulo de alpha'(t). Como cos^2t+sin^2t=1, temos
llVertalpha'(t)rrVert=raiz(a,tcos t)^2+(a,tsin t)^2=a,traizcos^2t+sin^2t=a,t

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do comprimento de arco no intervalo [0,2pi]:
L=integral0^2pia,t,dt=aintegral0^2pit,dt= a[tfract^22]0^2pi=acdottfrac(2pi)^22=2api^2

Resposta

2api^2

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