Calcule a integral:
integral 2 x arcsen(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 2x,arcsen(x^2),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes e, dentro dela, uma substituição para resolver a integral que envolve raiz1 - x^4. Vamos usar a fórmula de partes integral u,dv = u,v - integral v,du e a substituição adequada.

Passo 2

Definimos u = arcsen(x^2) e dv = 2x,dx. Derivando u e integrando dv obtemos:
du = 2xraiz1 - x^4,dx
v = integral 2x,dx = x^2.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral 2x,arcsen(x^2),dx = u,v - integral v,du = x^2,arcsen(x^2) - integral 2x^3raiz1 - x^4,dx

Passo 4

Para calcular integral 2x^3raiz1 - x^4,dx, fazemos a substituição w = 1 - x^4, então dw = -4x^3,dx, ou seja, 2x^3,dx = -tfrac12,dw. A integral vira:
integral 2x^3raiz1 - x^4,dx = -12 integral w^-1/2,dw = -12 cdot 2 w^1/2 = -raizw = -raiz1 - x^4

Passo 5

Substituindo de volta no resultado de partes, a integral original fica
integral 2x,arcsen(x^2),dx = x^2,arcsen(x^2) + raiz1 - x^4 + C

Resposta

x^2 arcsen(x^2) + raiz1 - x^4 + C

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