Determine a forma de decomposição em frações parciais das funções abaixo. Não precisa determinar os valores dos coeficientes.
1x^4+4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a forma de decomposição em frações parciais da função 1x^4 + 4x^2. Estamos trabalhando com frações parciais, que é uma técnica da álgebra usada para quebrar frações complexas em somas de frações mais simples. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e montar a decomposição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 + 4x^2. Observamos que podemos fatorar esse polinômio por fator comum:
x^4 + 4x^2 = x^2(x^2 + 4)
Agora, temos o denominador fatorado em dois termos: x^2 e x^2 + 4.

Passo 3

Em seguida, estabelecemos a forma da decomposição em frações parciais com base nos fatores encontrados. Sabemos que para cada fator linear ou quadrático distinto no denominador, devemos incluir um termo correspondente na decomposição.
Para x^2, que é um fator de multiplicidade 2 (já que x^2 pode ser visto como x elevado ao quadrado), incluímos termos com denominadores x e x^2. Para x^2 + 4, que é um fator quadrático irreduzível sobre os reais, usamos um numerador linear.
Portanto, a decomposição fica:
1x^4 + 4x^2 = Ax + Bx^2 + Cx + Dx^2 + 4

Passo 4

Vamos entender cada parte:
  • Ax: corresponde ao fator x simples.
  • Bx^2: corresponde ao fator x^2, que requer um termo adicional devido à sua multiplicidade.
  • Cx + Dx^2 + 4: corresponde ao fator quadrático x^2 + 4, onde o numerador é um polinômio de grau menor que o denominador (nesse caso, grau 1).
Essa é a forma geral da decomposição em frações parciais para a função dada.

Resposta

A decomposição em frações parciais da função 1x^4 + 4x^2 é:
1x^4 + 4x^2 = Ax + Bx^2 + Cx + Dx^2 + 4

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