Determine a forma de decomposição em frações parciais das funções abaixo. Não precisa determinar os valores dos coeficientes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a forma de decomposição em frações parciais da função
. Estamos trabalhando com frações parciais, que é uma técnica da álgebra usada para quebrar frações complexas em somas de frações mais simples. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e montar a decomposição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Observamos que podemos fatorar esse polinômio por fator comum:
Agora, temos o denominador fatorado em dois termos:
e
.
Passo 3
Em seguida, estabelecemos a forma da decomposição em frações parciais com base nos fatores encontrados. Sabemos que para cada fator linear ou quadrático distinto no denominador, devemos incluir um termo correspondente na decomposição.
Para
, que é um fator de multiplicidade 2 (já que
pode ser visto como
elevado ao quadrado), incluímos termos com denominadores
e
. Para
, que é um fator quadrático irreduzível sobre os reais, usamos um numerador linear.
Portanto, a decomposição fica:
Passo 4
Vamos entender cada parte:
-
: corresponde ao fator simples. -
: corresponde ao fator , que requer um termo adicional devido à sua multiplicidade. -
: corresponde ao fator quadrático , onde o numerador é um polinômio de grau menor que o denominador (nesse caso, grau 1).
Essa é a forma geral da decomposição em frações parciais para a função dada.
Resposta
A decomposição em frações parciais da função
é: