Seja gamma a curva que é parte da parábola y=x^2-2 com ponto inicial (-1,-1) e ponto final (2,2). Calcule
I=integralgamma(y-e^x^3) d x+(7 x+e^y^3) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve calcular uma integral ao longo de uma curva específica. A curva, chamada gamma, é parte da parábola y = x^2 - 2, começando no ponto (-1, -1) e terminando em (2, 2). A integral que precisamos calcular é:
I = integralgamma (y - e^x^3) dx + (7x + e^y^3 ) dy
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha ou integral ao longo de uma curva. Isso envolve parametrizar a curva, substituir na integral e então calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma. Como a curva está definida pela equação y = x^2 - 2, podemos usar o próprio x como parâmetro. Ou seja, escolhemos x variando de -1 a 2.
Então, podemos definir:
x = t y = t^2 - 2
onde t varia de -1 a 2. Essa é uma maneira simples de descrever cada ponto na curva conforme t varia.

Passo 3

Agora, precisamos substituir essa parametrização na integral. Para isso, vamos encontrar as diferenças dx e dy em termos de dt.
Derivando x e y em relação a t:
dxdt = 1 Rightarrow dx = dt
dydt = 2t Rightarrow dy = 2t,dt
Com isso, a integral original fica:
I = integralt=-1^t=2 ( y(t) - e^x(t)^3 ) dx + (7x(t) + e^y(t)^3) dy
Substituindo x(t), y(t), dx, e dy:
I = integral-1^2 ( (t^2 - 2) - e^t^3 ) (dt) + (7t + e^(t^2-2)^3) (2t,dt)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
I = integral-1^2 [ (t^2 - 2) - e^t^3 + 2t(7t) + 2t cdot e^(t^2-2)^3 ] dt
Simplificando mais:
I = integral-1^2 [ t^2 - 2 - e^t^3 + 14t^2 + 2t cdot e^(t^2-2)^3 ] dt
Agrupando termos semelhantes:
I = integral-1^2 [ 15t^2 - 2 - e^t^3 + 2t cdot e^(t^2-2)^3 ] dt

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 15t^2 , dt = 15 cdot t^33 = 5t^3
  2. integral (-2) , dt = -2t
  3. integral (-e^t^3) , dt — Esse termo não tem uma antiderivada elementar, mas vamos deixar como está para simplificação.
  4. integral 2t cdot e^(t^2-2)^3 , dt — Aqui, fazemos uma substituição: Seja u = (t^2 - 2)^3, então du = 3(t^2 - 2)^2 cdot 2t , dt. Essa integral também não tem uma antiderivada elementar, então vamos combinar esses termos.
Mas observando os termos 3 e 4 juntos:
- e^t^3 + 2t cdot e^(t^2-2)^3
Não conseguimos simplificar facilmente, então vamos deixar essa parte para análise final.

Passo 6

Vamos então expressar a integral de forma completa:
I = [5t^3 - 2t - integral e^t^3 , dt + integral 2t cdot e^(t^2-2)^3 , dt ]-1^2
Como as integrais de e^t^3 e 2t cdot e^(t^2-2)^3 não possuem soluções em termos de funções elementares, a resposta será expressa em termos dessas integrais.

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
I = [5t^3 - 2t - integral e^t^3 , dt + integral 2t cdot e^(t^2-2)^3 , dt ] gr|t=-1^t=2
Para obter um valor numérico exato, seria necessário avaliar as integrais não elementares numericamente. Contudo, a expressão acima representa a solução completa da integral ao longo da curva especificada.

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