Seja
a curva que é parte da parábola
com ponto inicial
e ponto final
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve calcular uma integral ao longo de uma curva específica. A curva, chamada
, é parte da parábola
, começando no ponto
e terminando em
. A integral que precisamos calcular é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha ou integral ao longo de uma curva. Isso envolve parametrizar a curva, substituir na integral e então calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como a curva está definida pela equação
, podemos usar o próprio
como parâmetro. Ou seja, escolhemos
variando de
a
.
Então, podemos definir:
onde
varia de
a
. Essa é uma maneira simples de descrever cada ponto na curva conforme
varia.
Passo 3
Agora, precisamos substituir essa parametrização na integral. Para isso, vamos encontrar as diferenças
e
em termos de
.
Derivando
e
em relação a
:
Com isso, a integral original fica:
Substituindo
,
,
, e
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando mais:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
-
-
-
— Esse termo não tem uma antiderivada elementar, mas vamos deixar como está para simplificação. -
— Aqui, fazemos uma substituição: Seja , então . Essa integral também não tem uma antiderivada elementar, então vamos combinar esses termos.
Mas observando os termos 3 e 4 juntos:
Não conseguimos simplificar facilmente, então vamos deixar essa parte para análise final.
Passo 6
Vamos então expressar a integral de forma completa:
Como as integrais de
e
não possuem soluções em termos de funções elementares, a resposta será expressa em termos dessas integrais.
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Para obter um valor numérico exato, seria necessário avaliar as integrais não elementares numericamente. Contudo, a expressão acima representa a solução completa da integral ao longo da curva especificada.