Calcule:
integral-1^2 x cdot raizx+2 d x

Passo 1

Temos a integral integral-1^2 xraizx+2,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição e uso da regra de potência em integrais.

Passo 2

Fazemos a troca de variável para simplificar a raiz. Definimos u = x+2, então du = dx. Quando x = -1, temos u = 1, e quando x = 2, temos u = 4. Em termos de u, note que x = u-2 e raizx+2 = raizu = u^1/2. Assim a integral fica
integral-1^2 xraizx+2,dx = integral1^4 (u-2),u^1/2,du = integral1^4 l(u^3/2 - 2u^1/2r),du

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência em cada termo. Temos
integral u^3/2,du = 25u^5/2, integral 2u^1/2,du = 2cdot23u^3/2 = 43u^3/2 Logo uma antiderivada é
F(u) = 25u^5/2 - 43u^3/2

Passo 4

Basta avaliar de u=1 a u=4:
F(4) = 25cdot4^5/2 - 43cdot4^3/2 = 25cdot32 - 43cdot8 = 645 - 323 = 3215, F(1) = 25cdot1 - 43cdot1 = 25 - 43 = -1415 Portanto o valor da integral é F(4)-F(1) = 3215 - (-tfrac1415) = 4615

Resposta

46/15

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