Seja a função f(x)=x^2. Considere a região R sob o gráfico de f(x) no intervalo [0,1]. Mostre que R=13;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a área da região $ R $ sob o gráfico da função $ f(x) = x^{2} $ no intervalo R é igual a f(x) = x^2 . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a área $ R $ sob o gráfico de $ f(x) = x^{2} $ entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $ pode ser calculada usando uma integral definida. A integral definida é uma ferramenta do cálculo que permite calcular a área sob uma curva entre dois pontos.

Passo 3

Vamos montar a integral que representa essa área:
R = integral0^1 x^2 , dx
Aqui, integral representa a operação de integração, os limites inferiores e superiores são 0 e 1, respectivamente, e x^2 é a função que estamos integrando.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a antiderivada de x^2. A antiderivada de x^n é x^n+1n+1, então:
integral x^2 , dx = x^33 + C
Como estamos calculando uma integral definida, o termo constante C não é necessário.

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 0 a 1:
R = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 - 0 = 13

Resposta

A área da região $ R $ é R .

Exercícios relacionados