Seja a função
. Considere a região
sob o gráfico de
no intervalo
. Mostre que
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a área da região $ R $ sob o gráfico da função $ f(x) = x^{2} $ no intervalo
é igual a
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a área $ R $ sob o gráfico de $ f(x) = x^{2} $ entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $ pode ser calculada usando uma integral definida. A integral definida é uma ferramenta do cálculo que permite calcular a área sob uma curva entre dois pontos.
Passo 3
Vamos montar a integral que representa essa área:
Aqui,
representa a operação de integração, os limites inferiores e superiores são
e
, respectivamente, e
é a função que estamos integrando.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a antiderivada de
. A antiderivada de
é
, então:
Como estamos calculando uma integral definida, o termo constante
não é necessário.
Passo 5
Finalmente, vamos avaliar a antiderivada nos limites de
a
:
Resposta
A área da região $ R $ é
.