Sejam alpha e beta constantes reais, u e v campos escalares e F e G campos vetoriais diferenciais. Usando regras de derivação, deduza a relação div(F times G)=G cdot rot(F)-F cdot rot(G).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de cálculo vetorial que relaciona a divergência do produto vetorial com o rotacional (curl). O conteúdo utilizado é derivação de campos vetoriais e regras de produto, e vamos precisar das definições de divergência, produto vetorial e do símbolo de Levi-Civita para fazer a demonstração em notação de índices.

Passo 2

Escrevemos a divergência do produto vetorial em notação de índices usando o símbolo de Levi-Civita varepsilonijk. Temos
div( Ftimes G)=partialil(varepsilonijkFjGkr)
onde partiali=partial/partial xi, e há soma em índices repetidos.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto à derivada parcial de FjGk:
partialil(varepsilonijkFjGkr)=varepsilonijkl((partialiFj)Gk+Fj(partialiGk)r)
Aqui simplesmente distribuímos a derivada parcial sobre o produto.

Passo 4

Separamos os dois termos:
div( Ftimes G)=varepsilonijk(partialiFj)Gk+varepsilonijkFj(partialiGk)
Agora vamos identificar cada parcela como um produto escalar envolvendo o rotacional.

Passo 5

Para o primeiro termo notamos que a componente k de nablatimes F é
(nablatimes F)k=varepsilonkijpartialiFj
Como varepsilonijk=varepsilonkij, podemos escrever
varepsilonijk(partialiFj)Gk=Gk,(nablatimes F)k= Gcdot(nablatimes F)

Passo 6

No segundo termo usamos a antisimetria do símbolo de Levi-Civita: varepsilonijk=-varepsilonkij. Então
varepsilonijkFj(partialiGk)=-varepsilonkijFj(partialiGk)=-Fj,varepsilonkij(partialiGk)
Mas varepsilonkijpartialiGk=(nablatimes G)j, de modo que
varepsilonijkFj(partialiGk)=-Fj,(nablatimes G)j=- Fcdot(nablatimes G)

Passo 7

Juntando as duas parcelas obtemos
div( Ftimes G)= Gcdot(nablatimes F)- Fcdot(nablatimes G)

Passo 8

Essa é exatamente a relação pedida, mostrando que a divergência do produto vetorial satisfaz
div( Ftimes G)= Gcdotrot( F)- Fcdotrot( G)

Resposta

div( Ftimes G)= Gcdotrot( F)- Fcdotrot( G)

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