Sejam
e
constantes reais,
e
campos escalares e
campos vetoriais diferenciais. Usando regras de derivação, deduza a relação
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade de cálculo vetorial que relaciona a divergência do produto vetorial com o rotacional (curl). O conteúdo utilizado é derivação de campos vetoriais e regras de produto, e vamos precisar das definições de divergência, produto vetorial e do símbolo de Levi-Civita para fazer a demonstração em notação de índices.
Passo 2
Escrevemos a divergência do produto vetorial em notação de índices usando o símbolo de Levi-Civita
. Temos
onde
, e há soma em índices repetidos.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto à derivada parcial de
:
Aqui simplesmente distribuímos a derivada parcial sobre o produto.
Passo 4
Separamos os dois termos:
Agora vamos identificar cada parcela como um produto escalar envolvendo o rotacional.
Passo 5
Para o primeiro termo notamos que a componente
de
é
Como
, podemos escrever
Passo 6
No segundo termo usamos a antisimetria do símbolo de Levi-Civita:
. Então
Mas
, de modo que
Passo 7
Juntando as duas parcelas obtemos
Passo 8
Essa é exatamente a relação pedida, mostrando que a divergência do produto vetorial satisfaz