Calcule a integral de:
integral x cos (2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, mais especificamente integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar duas partes da nossa função que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = x e dv = cos(2x) , dx e . Uma boa regra é deixar ser algo que, quando derivado, fica mais simples, e algo que a gente consegue integrar facilmente. Então, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx(x) , dx = 1 , dx e v = integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x) . Derivando , temos:
E integrando , temos:
(Lembre que a integral de é )

Passo 4

Com integral u , dv = u v - integral v , du , integral x cos(2x) , dx = x cdot 12 sin(2x) - integral 12 sin(2x) cdot 1 , dx , e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
= x2 sin(2x) - 12 integral sin(2x) , dx
Agora, vamos integrar integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x) :
= x2 sin(2x) - 12 ( -12 cos(2x) )
Então:

Passo 6

Finalmente, simplificamos tudo:
= x2 sin(2x) + 14 cos(2x) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x cos (2 x) , dx = x2 sin(2x) + 14 cos(2x) + C

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