Use o método de variação de parâmetros para encontrar a solução geral das seguintes EDOs lineares não homogêneas com coeficientes constantes. (As questões marcadas com (!) são mais desafiantes).
y^prime prime(t)-2 y^prime(t)+y(t)=e^tt^2+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''(t)-2y'(t)+y(t)=e^tt^2+1
Conteúdo: EDO linear de 2º ordem e método de variação de parâmetros. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Começamos encontrando a solução da equação homogênea associada
y''-2y'+y=0
O polinômio característico é r^2-2r+1=0, que tem raiz dupla r=1. Logo, a solução homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2,t e^t

Passo 3

Tomamos como soluções fundamentais
y1(t)=e^t,
y2(t)=t e^t
Calculamos o Wronskiano
[
W(t)= y1&y2y1'&y2'
= e^t&t e^te^t&(1+t)e^t
=e^{t}\cdot e^{t}(1+t)-t e^{t}\cdot e{t}=e{2t}.

Passo 4

Para variação de parâmetros, definimos funções v1(t) e v2(t) tais que
yp(t)=v1(t)y1(t)+v2(t)y2(t)
As fórmulas para as derivadas são
v1'=-g(t),y2(t)W(t),
v2'=g(t),y1(t)W(t),
onde g(t)=e^tt^2+1. Assim,
v1'=-e^t/(t^2+1)cdot t e^te^2t=-tt^2+1,
v2'=e^t/(t^2+1)cdot e^te^2t=1t^2+1
Integramos:
v1(t)=-integraltt^2+1,dt=-12lnl(t^2+1r),
v2(t)=integral1t^2+1,dt=arctan(t)

Passo 5

Agora montamos a solução particular
yp(t)=v1(t)y1(t)+v2(t)y2(t) =-12lnl(t^2+1r)e^t+l(arctan(t)r),t e^t
A solução geral é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

y(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e{t}-\tfrac{1}{2}e{t}\ln\bigl(t^{2}+1\bigr)+t e^{t}\arctan(t)

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