Encontre a solução dos seguintes PVI lineares de 2^a ordem
y^prime prime(t)+14 y^prime(t)+49 y(t)=0, com y(-4)=-1 e y^prime(-4)=5

Passo 1

Neste problema vamos resolver o PVI y''(t)+14y'(t)+49y(t)=0 com condições iniciais em t=-4: y(-4)=-1 e y'(-4)=5. O conteúdo é EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para solucionar, seguiremos estes passos: (1) montar a equação característica, (2) encontrar raízes, (3) escrever a solução geral, (4) derivar, (5) aplicar condições iniciais e (6) determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica associada à EDO y''+14y'+49y=0 é
r^2+14r+49=0

Passo 3

Calculamos o discriminante De, o que indica raiz dupla
r=-142=-7

Passo 4

Com raiz dupla, a solução geral fica
y(t)=C1e^-7t+C2,t,e^-7t

Passo 5

Agora derivamos a solução geral para obter y'(t):
y'(t)=-7C1e^-7t+C2e^-7t-7C2t,e^-7t =(-7C1+C2)e^-7t-7C2t,e^-7t

Passo 6

Aplicamos y(-4)=-1:
C1e^28+C2(-4)e^28=-1 Longrightarrow e^28(C1-4C2)=-1 implies C1-4C2=-e^-28

Passo 7

Aplicamos y'(-4)=5:
(-7C1+C2)e^28-7C2(-4)e^28=5 Longrightarrow e^28(-7C1+29C2)=5 implies -7C1+29C2=5e^-28

Passo 8

Resolvendo o sistema
C1-4C2=-e^-28 -7C1+29C2=5e^-28

Passo 9

multiplicamos a primeira por 7 e somamos:

Passo 10

Substituindo C2 na primeira equação obtemos
C1-4(-2e^-28)=-e^-28Longrightarrow C1=-9e^-28

Passo 11

Por fim, inserimos C1 e C2 na solução geral:
$$y(t)=-9e{-28}e{-7t}-2e{-28}t,e{-7t}=(-9-2t)e^{-7t-28}.
$$

Passo 12

Observando que e^-7t-28=e^-7(t+4), podemos reescrever de forma mais compacta:
y(t)=-(2t+9),e^-7(t+4)

Resposta

y(t)=-(2t+9)e^{-7(t+4)}

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