Encontre a solução dos seguintes PVI lineares de
ordem
e
Passo 1
Neste problema vamos resolver o PVI
com condições iniciais em
:
e
. O conteúdo é EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para solucionar, seguiremos estes passos: (1) montar a equação característica, (2) encontrar raízes, (3) escrever a solução geral, (4) derivar, (5) aplicar condições iniciais e (6) determinar as constantes.
Passo 2
A equação característica associada à EDO
é
Passo 3
Calculamos o discriminante
, o que indica raiz dupla
Passo 4
Com raiz dupla, a solução geral fica
Passo 5
Agora derivamos a solução geral para obter
:
Passo 6
Aplicamos
:
Passo 7
Aplicamos
:
Passo 8
Resolvendo o sistema
Passo 9
multiplicamos a primeira por 7 e somamos:
Passo 10
Substituindo
na primeira equação obtemos
Passo 11
Por fim, inserimos
e
na solução geral:
$$y(t)=-9e{-28}e{-7t}-2e{-28}t,e{-7t}=(-9-2t)e^{-7t-28}.
$$
Passo 12
Observando que
, podemos reescrever de forma mais compacta:
Resposta
y(t)=-(2t+9)e^{-7(t+4)}