Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
4 y^prime prime(t)-5 y^prime(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de 2ª ordem 4y''(t)-5y'(t)=0. O conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(t)=e^rt e substituímos na EDO 4y''-5y'=0, o que leva à equação característica
4r^2-5r=0

Passo 3

Fatoramos a equação característica: r(4r-5)=0. Assim obtemos as raízes r1=0 e r2=tfrac54.

Passo 4

Cada raiz gera uma solução fundamental: para r1=0 temos y1(t)=e^0t=1 e para r2=tfrac54 temos y2(t)=e^(5/4)t.

Passo 5

Como y1 e y2 são linearmente independentes, elas formam um conjunto fundamental de soluções, e a solução geral da EDO é dada pela combinação linear dessas funções.

Resposta

y(t)=C1 + C2,e^tfrac54 t.

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