Calcule integral x cos x d x.
Dica: Suponha que o produto acima seja uma das parcelas da derivada de um produto.
f(x)=u(x) cdot v(x) Rightarrow f^prime(x)=u^prime(x) cdot v(x)+u(x) cdot v^prime(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x cos x,dx. Esse é um caso clássico de integração por partes, que se baseia na fórmula de derivada de um produto: se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 2

Escolhemos as funções u(x)=x e v'(x)=cos x. Derivando e integrando, temos u'(x)=1 e v(x)=integral cos x,dx=sin x.
Aplicando a fórmula de integração por partes, integral u,v',dx = u v - integral u' v,dx. Logo,
integral xcos x,dx = xsin x - integral 1cdot sin x,dx.

Passo 3

Agora, calculamos integral sin x,dx = -cos x e substituímos em xsin x - integral sin x,dx, obtendo xsin x -(-cos x)=xsin x+cos x.

Resposta

xsin x + cos x + C

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