Seja
uma função diferenciável. Suponha que para todo
temos que
. Calcule
. (
)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável
que, para
, vale
Queremos encontrar a quarta derivada
. Para isso, vamos usar fatoração de polinômios e derivação de polinômios.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o numerador como diferença de quadrados duas vezes:
Então, para
,
Como
é diferenciável em todo
, essa expressão polinomial vale também em
, estendendo
a um polinômio de grau 3 em todo o domínio.
Passo 3
Agora basta derivar sucessivamente o polinômio
e observar que a quarta derivada de qualquer polinômio de grau 3 é zero:
Logo, em particular,
.
Resposta
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