Seja f: R R uma função diferenciável. Suponha que para todo x neq 2 temos que f(x)=x^4-16x-2. Calcule f^(4)(2). ( R: 0 )

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável f:RtoR que, para xneq2, vale
f(x)=x^4-16x-2
Queremos encontrar a quarta derivada f^(4)(2). Para isso, vamos usar fatoração de polinômios e derivação de polinômios.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador como diferença de quadrados duas vezes:
x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)
Então, para xneq2,
f(x)=(x-2)(x+2)(x^2+4)x-2=x^3+2x^2+4x+8
Como f é diferenciável em todo R, essa expressão polinomial vale também em x=2, estendendo f a um polinômio de grau 3 em todo o domínio.

Passo 3

Agora basta derivar sucessivamente o polinômio
f(x)=x^3+2x^2+4x+8
e observar que a quarta derivada de qualquer polinômio de grau 3 é zero:
f'(x)=3x^2+4x+4
f''(x)=6x+4
f'''(x)=6
f^(4)(x)=0
Logo, em particular, f^(4)(2)=0.

Resposta

0

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