Suponha que f: R R seja uma função duas vezes diferenciável e que satisfaz a condição
f(x^2)=f(x)+x^2, forall x in R
Calcule f^prime(1) e f^prime prime(1).
(R: f^prime(1)=2, f^prime prime(1)=-2 / 3)

Passo 1

O enunciado dá uma função real duas vezes diferenciável que satisfaz f(x²)=f(x)+x² para todo x, e pede f′(1) e f′′(1). O conteúdo principal é diferenciação de funções compostas (regra da cadeia) e diferenciação de produto.

Passo 2

Diferenciando a identidade f(x²)=f(x)+x² em relação a x, usamos a regra da cadeia no lado esquerdo e a derivada soma no direito:
Na esquerda temos
ddxf(x^2)=f'(x^2)cdot2x,,
e na direita
ddx[f(x)+x^2]=f'(x)+2x,
Logo obtemos a relação
f'(x^2)cdot2x = f'(x) +2x

Passo 3

Para x=1 isso vira
f'(1)cdot2 = f'(1)+2,,
de onde
2f'(1)-f'(1)=2implies f'(1)=2

Passo 4

Agora diferenciamos novamente a relação 2x,f’(x^2)=f’(x)+2x. No lado esquerdo aplicamos a regra do produto e outra vez a cadeia:
ddx[2x,f'(x^2)] = 2,f'(x^2) + 2xcdotl(f''(x^2)cdot2xr),
No direito
ddx[f'(x)+2x] = f''(x)+2,
Assim
2f'(x^2) +4x^2f''(x^2) = f''(x)+2

Passo 5

Avaliar em x=1 e usar f’(1)=2 dá
2cdot2 +4cdot1^2,f''(1) = f''(1)+2,,
isto é
[4 +4f’’(1) = f’’(1)+2\quad\implies\quad3f’’(1)= -2\quad\implies\quad f’’(1)=-\tfrac{2}{3}.\rfloor

Resposta

f’(1)=2, \quad f’’(1)=-\tfrac{2}{3}

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