Suponha que
seja uma função duas vezes diferenciável e que satisfaz a condição
Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma função real duas vezes diferenciável que satisfaz f(x²)=f(x)+x² para todo x, e pede f′(1) e f′′(1). O conteúdo principal é diferenciação de funções compostas (regra da cadeia) e diferenciação de produto.
Passo 2
Diferenciando a identidade f(x²)=f(x)+x² em relação a x, usamos a regra da cadeia no lado esquerdo e a derivada soma no direito:
Na esquerda temos
Na esquerda temos
e na direita
Logo obtemos a relação
Passo 3
Para x=1 isso vira
de onde
Passo 4
Agora diferenciamos novamente a relação 2x,f’(x^2)=f’(x)+2x. No lado esquerdo aplicamos a regra do produto e outra vez a cadeia:
No direito
Assim
Passo 5
Avaliar em x=1 e usar f’(1)=2 dá
isto é
[4 +4f’’(1) = f’’(1)+2\quad\implies\quad3f’’(1)= -2\quad\implies\quad f’’(1)=-\tfrac{2}{3}.\rfloor
Resposta
f’(1)=2, \quad f’’(1)=-\tfrac{2}{3}