Qual é a equação da reta tangente a curva dada implicitamente pela equação
em
?
(
)
(
Passo 1
A questão dá a curva implícita
e pede a reta tangente em
. O conteúdo principal é derivação implícita para encontrar
(a inclinação) e depois usar a equação da reta no ponto de tangência.
Passo 2
Para achar o ponto em que
, substituímos na equação:
Isso reduz a
O ponto de tangência é
Passo 3
Agora vamos derivar implicitamente em relação a
. Derivando termo a termo:
-
: é produto, então . -
: também produto, . -
: . -
: . -
: zero.
Somando tudo igual a zero fica:
Passo 4
Agrupando os termos que têm
e isolando
:
Então
Passo 5
Para encontrar a inclinação no ponto
, substituímos
e
:
Numerador: , então (-numerador) = 1.
Denominador: .
Logo .
Numerador:
Denominador:
Logo
Passo 6
Com o ponto
e a inclinação
, usamos a forma ponto-inclinação:
Ou seja
Portanto a reta é
Resposta
y = x - 1