Qual é a equação da reta tangente a curva dada implicitamente pela equação
x y^5+2 x^2 y-x^3+y+1=0
em x=0?
( R: y=x-1 )

Passo 1

A questão dá a curva implícita x y^5 + 2 x^2 y - x^3 + y + 1 = 0 e pede a reta tangente em x=0. O conteúdo principal é derivação implícita para encontrar y' (a inclinação) e depois usar a equação da reta no ponto de tangência.

Passo 2

Para achar o ponto em que x=0, substituímos na equação:
0,y^5 + 2cdot0^2,y - 0^3 + y + 1 = 0
Isso reduz a y + 1 = 0, logo y = -1.
O ponto de tangência é (0, -1).

Passo 3

Agora vamos derivar implicitamente em relação a x. Derivando termo a termo:
  • x y^5: é produto, então ddx(x),y^5 + x,ddx(y^5) = y^5 + xcdot5y^4y'.
  • 2x^2y: também produto, 4x y + 2x^2y'.
  • -x^3: -3x^2.
  • y: y'.
  • +1: zero.
    Somando tudo igual a zero fica:
y^5 + 5x y^4y' + 4x y + 2x^2y' - 3x^2 + y' = 0

Passo 4

Agrupando os termos que têm y' e isolando y':
(5x y^4 + 2x^2 + 1),y' + (y^5 + 4x y - 3x^2) = 0
Então
y' = -y^5 + 4x y - 3x^25x y^4 + 2x^2 + 1

Passo 5

Para encontrar a inclinação no ponto (0,-1), substituímos x=0 e y=-1:
Numerador: -1)^5 + 4cdot0cdot(-1) - 3cdot0^2 = -1, então (-numerador) = 1.
Denominador: 5cdot0cdot(-1)^4 + 2cdot0^2 + 1 = 1.
Logo y'(0,-1) = 1/1 = 1.

Passo 6

Com o ponto (0,-1) e a inclinação m=1, usamos a forma ponto-inclinação:
y - (-1) = 1,(x - 0)
Ou seja
y + 1 = x
Portanto a reta é
y = x - 1

Resposta

y = x - 1

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