Calcule: integral-1^5(x^4 / 3-4 x^1 / 3) d x

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa calcular a integral definida de –1 a 5 de x^4/3 - 4x^1/3. O conteúdo é integração de funções potência e vamos usar a regra do poder e propriedades de raízes fracionárias (a raiz cúbica existe para números negativos).

Passo 2

Para encontrar a antiderivada, aplicamos a regra do poder:
integral x^m,dx = x^m+1m+1, mneq -1
Logo:
integral x^4/3,dx = 37x^7/3, integral x^1/3,dx = 34x^4/3
Isso dá como primitiva do integrando:
F(x) = 37x^7/3 - 4cdot34x^4/3 = 37x^7/3 - 3x^4/3

Passo 3

A integral definida é
I = integral-1^5l(x^4/3 - 4x^1/3r),dx = F(5) - F(-1)

Passo 4

Para calcular F(5), usamos
5^7/3 = 25raiz[3]5, 5^4/3 = 5raiz[3]5
Então
F(5) = 37cdot25raiz[3]5 - 3cdot5raiz[3]5 = 757raiz[3]5 - 15raiz[3]5 = -307raiz[3]5
Para x=-1, como raiz[3]-1=-1 temos
F(-1) = 37(-1)^7/3 - 3(-1)^4/3 = -37 - 3 = -247

Passo 5

Subtraindo e simplificando:
I = F(5) - F(-1) = -307raiz[3]5 - l(-tfrac247r) = -307raiz[3]5 + 247 = 24 - 30raiz[3]57

Resposta

24 - 30raiz[3]57

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