Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício: a gente precisa determinar se a integral
converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. A matéria aqui envolve cálculo de integrais impróprias, onde a gente lida com funções que podem ter comportamentos complicados em certos pontos do intervalo de integração. Vamos precisar entender como tratar essas integrais e aplicar as regras apropriadas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
pode ser reescrita como
. Olhando para o intervalo de integração de 0 a 8, percebemos que o ponto problemático é quando
se aproxima de 0, já que
tende ao infinito nesse ponto. Portanto, a integral é imprópria devido a um comportamento infinito na extremidade inferior.
Passo 3
Para determinar se a integral converge ou diverge, vamos calcular o limite da integral conforme
se aproxima de 0 pelo lado positivo. Assim, reescrevemos a integral como:
Passo 4
Agora, vamos integrar
. A regra para integrar
é
, desde que
. Aqui,
, então:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a 8, temos:
Passo 6
Calculando
:
Então,
Resposta
A integral
converge e o seu valor é 6.