Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
integral0^8 1raiz[3]x d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício: a gente precisa determinar se a integral converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. A matéria aqui envolve cálculo de integrais impróprias, onde a gente lida com funções que podem ter comportamentos complicados em certos pontos do intervalo de integração. Vamos precisar entender como tratar essas integrais e aplicar as regras apropriadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função pode ser reescrita como . Olhando para o intervalo de integração de 0 a 8, percebemos que o ponto problemático é quando se aproxima de 0, já que tende ao infinito nesse ponto. Portanto, a integral é imprópria devido a um comportamento infinito na extremidade inferior.

Passo 3

Para determinar se a integral converge ou diverge, vamos calcular o limite da integral conforme integral0^8 1x^1/3 , dx = lima to 0^+ integrala^8 x^-1/3 , dx se aproxima de 0 pelo lado positivo. Assim, reescrevemos a integral como:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral x^-1/3 , dx = x^(-1/3)+1(-1/3)+1 + C = x^2/32/3 + C = 32 x^2/3 + C . A regra para integrar é , desde que . Aqui, , então:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de lima to 0^+ [ 32 x^2/3 ]a^8 = lima to 0^+ ( 32 cdot 8^2/3 - 32 cdot a^2/3 ) a 8, temos:

Passo 6

Calculando 8^1/3 = 2 Rightarrow 8^2/3 = (8^1/3)^2 = 2^2 = 4 :
lima to 0^+ ( 32 cdot 4 - 32 cdot a^2/3 ) = 32 cdot 4 - 32 cdot 0 = 6
Então,

Resposta

A integral converge e o seu valor é 6.

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