Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
integral0^infty 1raiz[3]x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral
integral0^infty 1raiz[3]x+1 , dx
converge ou diverge. Se ela convergir, também tem que calcular o seu valor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A integral vai de 0 até o infinito, ou seja, é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Nosso objetivo é ver se o valor dessa integral é finito (converge) ou não (diverge).

Passo 3

A função que estamos integrando é . Podemos reescrever isso como . Para analisar a convergência, vamos observar o comportamento dessa função quando tende ao infinito.

Passo 4

Quando fica muito grande, é aproximadamente . Então, a função se comporta como . Sabemos que, para integrais do tipo , a integral converge se e diverge se .

Passo 5

No nosso caso, integral0^infty 1raiz[3]x+1 , dx , que é menor que 1. Portanto, pela regra, a integral
diverge.

Resposta

A integral diverge.

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