Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, também tem que calcular o seu valor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A integral vai de 0 até o infinito, ou seja, é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Nosso objetivo é ver se o valor dessa integral é finito (converge) ou não (diverge).
Passo 3
A função que estamos integrando é
. Podemos reescrever isso como
. Para analisar a convergência, vamos observar o comportamento dessa função quando
tende ao infinito.
Passo 4
Quando
fica muito grande,
é aproximadamente
. Então, a função se comporta como
. Sabemos que, para integrais do tipo
, a integral converge se
e diverge se
.
Passo 5
No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, pela regra, a integral
diverge.
Resposta
A integral diverge.