Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos trabalhar com integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração podem ser infinitos ou onde a função apresenta descontinuidade no intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, observamos que o limite inferior da integral é
, então estamos lidando com uma integral imprópria no infinito. Além disso, precisamos verificar se o denominador
causa algum problema, como uma divisão por zero ou indefinição dentro do intervalo de integração.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função
. O denominador
se aproxima de zero quando
se aproxima de
. Mas nosso intervalo de integração vai até
, então
nunca chega perto de
. Portanto, não precisamos nos preocupar com descontinuidades dentro do intervalo.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral de forma que possamos lidar com o limite imaginário. Como o limite inferior é
, a integral fica assim:
Vamos resolver essa integral indefinida para facilitar.
Passo 5
Vamos encontrar a antiderivada de
. Podemos reescrever a função como
e integrar:
Usando a regra da potência para integração, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração da antiderivada:
Calculando:
E para o termo com
:
À medida que
vai para
,
também vai para
, então esse termo tende a
.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Como o resultado tende ao infinito, a integral não converge, ou seja, ela diverge.
Resposta
A integral diverge.