Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
integral-infty^0 1(x-8)^2 / 3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral
integral-infty^0 1(x-8)^2 / 3 , dx
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos trabalhar com integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração podem ser infinitos ou onde a função apresenta descontinuidade no intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que o limite inferior da integral é -infty, então estamos lidando com uma integral imprópria no infinito. Além disso, precisamos verificar se o denominador (x-8)^2/3 causa algum problema, como uma divisão por zero ou indefinição dentro do intervalo de integração.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função 1(x-8)^2 / 3. O denominador (x-8)^2/3 se aproxima de zero quando x se aproxima de 8. Mas nosso intervalo de integração vai até 0, então x nunca chega perto de 8. Portanto, não precisamos nos preocupar com descontinuidades dentro do intervalo.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral de forma que possamos lidar com o limite imaginário. Como o limite inferior é -infty, a integral fica assim:
lima to -infty integrala^0 1(x-8)^2 / 3 , dx
Vamos resolver essa integral indefinida para facilitar.

Passo 5

Vamos encontrar a antiderivada de 1(x-8)^2 / 3. Podemos reescrever a função como (x-8)^-2/3 e integrar:
integral (x-8)^-2/3 , dx
Usando a regra da potência para integração, temos:
(x-8)^-2/3 + 1-2/3 + 1 + C = (x-8)^1/31/3 + C = 3(x-8)^1/3 + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração da antiderivada:
lima to -infty [ 3(x-8)^1/3 ]a^0 = lima to -infty [ 3(0-8)^1/3 - 3(a-8)^1/3 ]
Calculando:
3(-8)^1/3 = 3(-2) = -6
E para o termo com a:
lima to -infty 3(a-8)^1/3
À medida que a vai para -infty, (a-8)^1/3 também vai para -infty, então esse termo tende a -infty.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
-6 - (-infty) = -6 + infty = infty
Como o resultado tende ao infinito, a integral não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A integral diverge.

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