Calcule as integral de:
integral x^3 d x(x^4+2)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^3(x^4+2)^3,dx. Esse tipo de integral costuma ser resolvido por substituição, pois o denominador é a função x^4+2 e seu derivado aparece no numerador.

Passo 2

Na técnica de substituição definimos u = x^4 + 2. Então derivando ambos os lados: du = 4x^3,dx, o que implica x^3,dx = tfrac14,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, trocamos a variável x por u:
integral x^3(x^4+2)^3,dx = 14integral u^-3,du
Agora usamos a regra de potência para integrar u^-3, ou seja, integral u^n,du = u^n+1n+1 para nneq -1.

Passo 4

Aplicando a regra de potência em u^-3 obtemos
14integral u^-3,du = 14cdotu^-2-2 + C = -18u^-2 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando u = x^4 + 2. Assim a antiderivada fica
-18(x^4+2)^2 + C

Resposta

-\tfrac{1}{8(x4+2)2} + C

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