Calcule as integral de:
integral(x^-4-raiz[3]x^2+3x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de $ \int\left(x^{-4} - \sqrt[3]{x{2}+\frac{3}{x{2}}}\right) dx $. Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções racionais e funções com radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, como a soma de integrais e possíveis substituições para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral(x^-4 - raiz[3]x^2+3x^2) dx = integral x^-4 dx - integral raiz[3]x^2+3x^2 dx

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral, $ \int x^{-4} dx $. Lembra que $ x^{-4} $ é o mesmo que $ \frac{1}{x^{4}} $. A regra básica para integrar potências de $ x $ é:
integral x^-4 dx
Aplicando essa regra:
x^-4

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: $ \int \sqrt[3]{x{2}+\frac{3}{x{2}}} dx $. Isso pode parecer complicado, mas vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz cúbica.
Primeiro, reescrevemos $ \sqrt[3]{x{2}+\frac{3}{x{2}}} $ como $ (x^{2} + 3x{-2}){1/3} $.
Agora, observamos que a expressão $ x^{2} + 3x^{-2} $ pode ser reescrita como $ \frac{x^{4} + 3}{x^{2}} $. Assim:
integral raiz[3]x^2+3x^2 dx
Essa forma ainda é um pouco complicada para integrar diretamente, então vamos tentar uma substituição para simplificar.

Passo 5

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 dx Rightarrow dx = du3x^2
Mas, como queremos expressar tudo em termos de $ u $, precisamos também reescrever $ x^{4} + 3 $ em termos de $ u $. Sabemos que $ u = x^{3} $, então $ x = u^{1/3} $. Portanto:
u
Assim:
x^4 + 3
Substituindo tudo na integral:
u
Percebemos que isso não simplifica a integral de forma que facilite a resolução, então essa substituição não foi útil. Vamos tentar uma abordagem diferente.

Passo 6

Vamos tentar outra substituição mais direta. Seja:
u = x - 1x
Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
x
No entanto, isso também não parece simplificar a integral de forma suficiente.

Passo 7

Diante disso, percebemos que a integral $ \int \sqrt[3]{x{2}+\frac{3}{x{2}}} dx $ não possui uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. Ou seja, não conseguimos encontrar uma expressão fechada usando apenas funções básicas como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos e cossenos.
Portanto, a integral permanece expressa em termos dele mesmo ou pode ser aproximada por métodos numéricos se necessário.

Resposta

A integral solicitada é:
integral(x^-4 - raiz[3]x^2+3x^2) dx = -13x^3 - integral raiz[3]x^2+3x^2 dx + C
Onde a segunda integral não pode ser expressa em termos de funções elementares.

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