Calcule as integral de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de $ \int\left(x^{-4} - \sqrt[3]{x{2}+\frac{3}{x{2}}}\right) dx $. Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções racionais e funções com radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, como a soma de integrais e possíveis substituições para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral, $ \int x^{-4} dx $. Lembra que $ x^{-4} $ é o mesmo que $ \frac{1}{x^{4}} $. A regra básica para integrar potências de $ x $ é:
Aplicando essa regra:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral: $ \int \sqrt[3]{x{2}+\frac{3}{x{2}}} dx $. Isso pode parecer complicado, mas vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz cúbica.
Primeiro, reescrevemos $ \sqrt[3]{x{2}+\frac{3}{x{2}}} $ como $ (x^{2} + 3x{-2}){1/3} $.
Agora, observamos que a expressão $ x^{2} + 3x^{-2} $ pode ser reescrita como $ \frac{x^{4} + 3}{x^{2}} $. Assim:
Essa forma ainda é um pouco complicada para integrar diretamente, então vamos tentar uma substituição para simplificar.
Passo 5
Vamos fazer a seguinte substituição:
Mas, como queremos expressar tudo em termos de $ u $, precisamos também reescrever $ x^{4} + 3 $ em termos de $ u $. Sabemos que $ u = x^{3} $, então $ x = u^{1/3} $. Portanto:
Assim:
Substituindo tudo na integral:
Percebemos que isso não simplifica a integral de forma que facilite a resolução, então essa substituição não foi útil. Vamos tentar uma abordagem diferente.
Passo 6
Vamos tentar outra substituição mais direta. Seja:
Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
No entanto, isso também não parece simplificar a integral de forma suficiente.
Passo 7
Diante disso, percebemos que a integral $ \int \sqrt[3]{x{2}+\frac{3}{x{2}}} dx $ não possui uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. Ou seja, não conseguimos encontrar uma expressão fechada usando apenas funções básicas como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos e cossenos.
Portanto, a integral permanece expressa em termos dele mesmo ou pode ser aproximada por métodos numéricos se necessário.
Resposta
A integral solicitada é:
Onde a segunda integral não pode ser expressa em termos de funções elementares.