No ponto
, diga se a função
cresce ou decresce na direção
, e com qual taxa. Qual o mínimo da taxa de variação de
nesse ponto?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função $ u(x, y, z) = xyz + xz + y^{2} $ no ponto $ (2, 1, 0) $ e precisamos descobrir se essa função está crescendo ou decrescendo na direção do vetor $ \vec{s} = \frac{-3 \vec{i} + 4 \vec{k}}{5} $. Além disso, vamos calcular a taxa de variação nessa direção e descobrir qual é a menor taxa de variação possível nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como o gradiente e a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ u(x, y, z) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Então, vamos calcular:
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ (2, 1, 0) $:
Então, o gradiente nesse ponto é $ \nabla u = (0, 2, 4) $.
Passo 4
A derivada direcional da função $ u $ na direção do vetor unitário $ \vec{s} $ é calculada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor direção:
Dado que $ \vec{s} = \frac{-3 \vec{i} + 4 \vec{k}}{5} = \left( \frac{-3}{5}, 0, \frac{4}{5} \right) $, fazemos:
Passo 5
Como a derivada direcional $ D_{\vec{s}} u = \frac{16}{5} $ é positiva, isso significa que a função $ u $ está crescendo na direção de $ \vec{s} $ no ponto $ (2, 1, 0) $. A taxa de variação é $ \frac{16}{5} $.
Passo 6
Agora, para encontrar o mínimo da taxa de variação de $ u $ nesse ponto, lembramos que a menor taxa de variação ocorre na direção oposta ao gradiente. A mínima derivada direcional é igual a $ -|\nabla u| $, onde $ |\nabla u| $ é a norma do gradiente.
Calculando a norma:
Portanto, a mínima taxa de variação é:
Resposta
A função $ u $ está crescendo na direção $ \vec{s} $ com uma taxa de variação igual a $ \frac{16}{5} $. O mínimo da taxa de variação de $ u $ no ponto $ (2, 1, 0) $ é $ -2\sqrt{5} $.