Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por
e
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que é formado quando giramos a região limitada pelas curvas $ y = \sqrt{x} $, $ x = 1 $ e $ y = 0 $ em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva $ y = \sqrt{x} $ é uma parábola que abre para a direita. A reta $ x = 1 $ corta essa curva, e $ y = 0 $ é o eixo $ x $. Então, a área que vamos girar está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, debaixo da curva $ y = \sqrt{x} $.
Passo 3
O método dos discos nos diz que o volume $ V $ do sólido de revolução pode ser encontrado integrando a área da seção transversal (um círculo) ao longo do intervalo de $ x $. A fórmula geral é:
Aqui, $ f(x) = \sqrt{x} $, $ a = 0 $ e $ b = 1 $.
Passo 4
Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula:
Sabemos que $ (\sqrt{x})^2 = x $, então fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ x $ em relação a $ x $:
Como estamos calculando um volume definido entre 0 e 1, não precisamos do $ C $. Então, avaliamos a integral de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{\pi}{2} $ unidades cúbicas.