Calcule a integral integral x^3 raiz1-x^2 d x usando três métodos diferentes
(b) Substituição u=x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^3raiz1-x^2,dx usando o método de substituição u=x^2. O assunto é integração por substituição, e vamos precisar reescrever x^3raiz1-x^2,dx em termos de u e du.

Passo 2

Definimos u = x^2. Então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = dfracdu2. Como temos x^3 = x^2cdot x = ucdot x, podemos reescrever
integral x^3raiz1-x^2,dx = integral u,raiz1-u;l(du2r) = 12integral u,(1-u)^1/2,du

Passo 3

Para calcular integral u,(1-u)^1/2,du, fazemos a substituição auxiliar v=1-u, logo dv=-du e u=1-v. Assim:
integral u,(1-u)^1/2,du = -integral (1-v)v^1/2,dv = -integral l(v^1/2-v^3/2r)dv = -l(23v^3/2-25v^5/2r)+C = 25v^5/2-23v^3/2+C

Passo 4

Voltando a u e incluindo o fator 1/2:
12integral u,(1-u)^1/2,du = 12l(25(1-u)^5/2-23(1-u)^3/2r)+C = 15(1-u)^5/2-13(1-u)^3/2+C

Passo 5

Finalmente, substituímos u=x^2:
15(1-x^2)^5/2-13(1-x^2)^3/2+C

Resposta

15(1-x^2)^5/2-13(1-x^2)^3/2+C

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