Utilizando a Substituição Trigonométrica, calcule as primitivas.
(m) integral y^2 raiza^2-y^2 d y

Passo 1

O exercício pede para encontrar a primitiva da função y^2raiza^2 - y^2 em relação a y, usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral costuma ser resolvido definindo y = asintheta para transformar raiza^2 - y^2 em função de costheta.

Passo 2

Fazendo a substituição
y = asintheta, dy = acostheta,dtheta, raiza^2 - y^2 = acostheta
A integral original
integral y^2raiza^2 - y^2,dy
vira
integral (a^2sin^2theta),(acostheta),(acostheta,dtheta) = a^4integral sin^2thetacos^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar sin^2thetacos^2theta usamos a identidade
sin^2thetacos^2theta = 1 - cos(4theta)8
Então
a^4integral sin^2thetacos^2theta,dtheta = a^48integrall(1 - cos(4theta)r),dtheta

Passo 4

Integrando em theta obtemos
a^48l(theta - sin(4theta)4r) + C = a^48theta - a^432sin(4theta) + C

Passo 5

Para voltar a y usamos
theta = arcsinl(tfracyar), sin(4theta) = 4y,(a^2 - 2y^2)raiza^2 - y^2a^4
Substituindo de volta e reorganizando, a primitiva final é obtida.

Passo 6

Resposta

integral y^2raiza^2 - y^2,dy = a^48arcsinl(yar) - y,(a^2 - 2y^2)raiza^2 - y^28 + C

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