Utilizando Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis calcule as integrais indefinidas a seguir.
(g) integral raizcos (x) cdot sen^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral raizcos x,sin^3 x,dx, usando identidades trigonométricas e substituição. O conteúdo envolve manipular potências de sen e cos e depois usar substituição de variável.

Passo 2

Para reduzir o integrando, usamos a identidade sin^3x=sin x,(1-cos^2x). Assim o integral vira:
integral raizcos x,sin^3x,dx=integral raizcos x,sin x,(1-cos^2x),dx

Passo 3

Definimos a substituição u=cos x. Então du=-sin x,dx, ou seja sin x,dx=-du. Substituindo em nosso integral:
integral raizcos x,sin x,(1-cos^2x),dx=-integral u^1/2(1-u^2),du

Passo 4

Distribuímos e separamos o integral em dois termos:
-integral u^1/2du+integral u^5/2du

Passo 5

Agora integramos cada potência de u:
integral u^1/2du=23u^3/2, integral u^5/2du=27u^7/2
Substituindo de volta:
-l(23u^3/2r)+27u^7/2+C

Passo 6

Por fim, voltamos a x usando u=cos x. A antiderivada fica:
-23cos^3/2x+27cos^7/2x+C

Resposta

-dfrac23cos^3/2x+dfrac27cos^7/2x+C

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