Calcule
integral x raiz1+5 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede para calcular a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para resolver isso, precisamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil. Olhando para u = 1 + 5x^2 , uma boa ideia é chamar de o que está dentro da raiz. Então, seja:
Isso simplifica a parte complicada da integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 10x em relação a du = 10x , dx para achar x , dx = du10 :
Isso significa que:
Queremos expressar em termos de , então dividimos ambos os lados por 10:

Passo 4

Substituímos agora integral x raiz1+5 x^2 , dx = integral raizu cdot du10 = 110 integral u^1/2 , du e na integral original:
Aqui, usamos que , o que facilita a integração.

Passo 5

Vamos integrar integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2 :
110 cdot 23 u^3/2 = 115 u^3/2
Multiplicando pelo que estava na frente:

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original 115 (1 + 5x^2)^3/2 + C substituindo :
Aqui, é a constante de integração que sempre aparece nas primitivas.

Resposta

115 (1 + 5x^2)^32 + C

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