Calcule
integral1^2 2 x^2+6x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Basicamente, estamos lidando com uma integral definida que envolve funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões fracionárias e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 2 x^2x + 6x = 2x + 6x . Para isso, dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
integral1^2 (2x + 6x) , dx
Agora, a integral fica mais simples:

Passo 3

Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de uma soma é a soma das integrais. Então, temos:
integral1^2 2x , dx + integral1^2 6x , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando por integral 2x , dx = 2 cdot x^22 = x^2 :
A regra básica aqui é que a integral de é , onde . Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: integral 6x , dx = 6 ln|x| .
Sabemos que a integral de é o logaritmo natural de , ou seja, . Portanto:

Passo 6

Agora, juntando as duas integrais que resolvemos:
integral1^2 (2x + 6x) , dx = [ x^2 + 6 ln|x| ]1^2
Isso significa que vamos calcular a expressão nos limites de 2 e 1 e depois subtrair.

Passo 7

Vamos calcular para (2)^2 + 6 ln(2) = 4 + 6 ln(2) :
(1)^2 + 6 ln(1) = 1 + 6 cdot 0 = 1
E para :
Lembrando que .

Passo 8

Agora, subtraímos os valores obtidos:
(4 + 6 ln(2)) - 1 = 3 + 6 ln(2)

Resposta

O valor da integral é .

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