Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=t^2+5, t >= 0. Sabe-se que, no instante t=0, a partícula encontra-se na posição x=2. Qual a posição da partícula no instante t?
  • Posicio integral da velocidade

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre uma partícula que se move ao longo do eixo com uma velocidade dada por , onde é o tempo em segundos e começa em . A gente também sabe que, no instante , a posição da partícula é . Nosso objetivo é descobrir qual será a posição da partícula em qualquer instante .
Matéria envolvida: Cinemática básica, especificamente integração da velocidade para encontrar a posição.
O que precisamos: Entender que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo e aplicar as condições iniciais para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade v(t) = dxdt é a derivada da posição x(t) = integral v(t) , dt + C em relação ao tempo:
Para encontrar a posição , precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 3

Substituindo x(t) = integral (t^2 + 5) , dt + C na integral, temos:
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 4

Integrando integral t^2 , dt = t^33 em relação a integral 5 , dt = 5t :
x(t) = t^33 + 5t + C
E integrando em relação a :
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar 2 = 0^33 + 5 cdot 0 + C implies 2 = C . Sabemos que, quando , . Substituindo esses valores na equação:
Então, .

Passo 6

Agora que encontramos x(t) = t^33 + 5t + 2 , substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A posição da partícula no instante x(t) = t^33 + 5t + 2 é dada por:

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