Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
. Sabe-se que, no instante
, a partícula encontra-se na posição
. Qual a posição da partícula no instante
?
- Posicio integral da velocidade
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre uma partícula que se move ao longo do eixo
com uma velocidade dada por
, onde
é o tempo em segundos e começa em
. A gente também sabe que, no instante
, a posição da partícula é
. Nosso objetivo é descobrir qual será a posição da partícula em qualquer instante
.
Matéria envolvida: Cinemática básica, especificamente integração da velocidade para encontrar a posição.
O que precisamos: Entender que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo e aplicar as condições iniciais para encontrar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo:
Para encontrar a posição
, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 3
Substituindo
na integral, temos:
Vamos resolver essa integral termo a termo.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
E integrando
em relação a
:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que, quando
,
. Substituindo esses valores na equação:
Então,
.
Passo 6
Agora que encontramos
, substituímos de volta na expressão de
:
Resposta
A posição da partícula no instante
é dada por: