Calcule a integral
integral x^5 raiz1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^5 raiz1+x^2,dx. O conteúdo principal é integração por substituição algébrica, transformando a raiz em potência e reduzindo tudo a um polinômio em uma nova variável.

Passo 2

Para simplificar a raiz, fazemos a substituição u = 1 + x^2. Assim du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,du. Precisamos expressar x^5raiz1+x^2,dx em termos de u e du. Observando que x^4 = (u-1)^2 e raiz1+x^2=u^1/2, temos
x^5raiz1+x^2,dx = x^4,u^1/2,(x,dx) = (u-1)^2,u^1/2,du2 = 12,(u-1)^2,u^1/2,du

Passo 3

Agora expandimos o polinômio dentro da integral:
(u-1)^2,u^1/2 = (u^2 - 2u + 1),u^1/2 = u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2

Passo 4

Logo a integral fica
12integrall(u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2r)du

Passo 5

Integramos termo a termo usando a regra integral u^p du = u^p+1/(p+1):
12(u^7/27/2 - 2cdotu^5/25/2 + u^3/23/2) + C = 12(27u^7/2 - 45u^5/2 + 23u^3/2) + C

Passo 6

Simplificando os fatores tfrac12:
= 17u^7/2 - 25u^5/2 + 13u^3/2 + C

Passo 7

Por fim, voltamos a variável x com u = 1+x^2.

Resposta

17(1+x^2)^7/2 - 25(1+x^2)^5/2 + 13(1+x^2)^3/2 + C

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