Exercicío 3. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=y^2-x^2 sujeito à x^24+y^2=1

Passo 1

Temos a função objetivo f(x,y)=y^2 - x^2 e a restrição x^24+y^2=1. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar extremos sujeitos a essa curva.
A ideia do método é introduzir a função de Lagrange L(x,y,lambda)=f(x,y) - lambda,g(x,y), onde g(x,y)=x^24+y^2-1. A condição necessária para extremos é nabla f = lambda,nabla g junto com a restrição g(x,y)=0.

Passo 2

Calculamos os gradientes:
nabla f = l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(-2x,,2y),
nabla g = l(partial gpartial x,partial gpartial yr)=l(x2,,2yr)

Passo 3

As equações de Lagrange são
-2x = lambda,x2, 2y = lambda,2y, x^24+y^2=1

Passo 4

Analisando as equações, temos dois casos principais:
Caso 1: x=0. Então a segunda equação 2y=2lambda y exige yneq0 (já que (0,0) não satisfaz a restrição), de onde lambda=1. Na restrição vem y^2=1, logo os pontos são (0,1) e (0,-1).
Caso 2: y=0. Então a primeira equação -2x=lambda,x/2 exige xneq0, de onde lambda=-4. Na restrição vem x^2/4=1, logo x=pm2 e os pontos são (2,0) e (-2,0).

Passo 5

Por fim, avaliamos f nos pontos críticos obtidos e comparamos os valores para identificar máximos e mínimos.

Resposta

Valor máximo de f é 1, ocorrido em (0,1) e (0,-1). Valor mínimo de f é -4, ocorrido em (2,0) e (-2,0).

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