Exercicío 3. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
sujeito à
Passo 1
Temos a função objetivo
e a restrição
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar extremos sujeitos a essa curva.
A ideia do método é introduzir a função de Lagrange , onde
. A condição necessária para extremos é
junto com a restrição
.
A ideia do método é introduzir a função de Lagrange
Passo 2
Calculamos os gradientes:
Passo 3
As equações de Lagrange são
Passo 4
Analisando as equações, temos dois casos principais:
Caso 1: . Então a segunda equação
exige
(já que
não satisfaz a restrição), de onde
. Na restrição vem
, logo os pontos são
e
.
Caso 2: . Então a primeira equação
exige
, de onde
. Na restrição vem
, logo
e os pontos são
e
.
Caso 1:
Caso 2:
Passo 5
Por fim, avaliamos
nos pontos críticos obtidos e comparamos os valores para identificar máximos e mínimos.
Resposta
Valor máximo de
é
, ocorrido em
e
. Valor mínimo de
é
, ocorrido em
e
.