Exercicío 2. Nos itens abaixo, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.
D(x, y)=x^2-x y+y^2 na placa triangular fechada e limitada pelas retas x >= 0, y >= 4, y <= x no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos da função D(x,y)=x^2 - x y + y^2 sobre o triângulo fechado cujas arestas são dadas pelas retas x=0, y=4 e y=x no primeiro quadrante. Vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos no interior e depois examinar cada aresta para ver onde ocorre mínimo ou máximo.

Passo 2

Para o interior do triângulo, calculamos o gradiente:

Impondo nnabla D(x,y)=(partial Dpartial x,,partial Dpartial y)=(2x - y,,-x + 2y)n temos o sistema
$$
2x - y = 0,
\
-x + 2y = 0.
$$
Da primeira equação nabla D=0 e substituindo na segunda obtém-se 2x - y = 0, -x + 2y = 0 , o que só é compatível com y=2x. Esse ponto está no vértice do triângulo.

Passo 3

Analisamos agora as três arestas:
  • Aresta x=0, yin[0,4]: D(0,y)=y^2,\n que varia de 0 a 16, com mínimo 0 em (0,0) e máximo 16 em (0,4).
    - Aresta y=4, xin[0,4]:
    D(x,4)=x^2 -4x+16É um quadrático com vértice em x=2, onde D(2,4)=12. Nos extremos x=0 e x=4 temos D=16.
  • Aresta y=x, xin[0,4]: D(x,x)=x^2 -x^2 +x^2 = x^2,
    que varia de 0 a 16, com mínimo 0 em (0,0) e máximo 16 em (4,4).

Passo 4

Comparando todos os valores candidatos — interior (0,0):D=0, aresta (2,4):D=12, vértices (0,4):D=16 e (4,4):D=16 — concluímos que o valor absoluto mínimo é 0 em (0,0) e o valor absoluto máximo é 16 nos pontos (0,4) e (4,4).

Resposta

Mínimo absoluto: D=0 em (0,0). Máximo absoluto: D=16 em (0,4) e (4,4).

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