Exercicío 2. Nos itens abaixo, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.
na placa triangular fechada e limitada pelas retas
no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos da função
sobre o triângulo fechado cujas arestas são dadas pelas retas
,
e
no primeiro quadrante. Vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos no interior e depois examinar cada aresta para ver onde ocorre mínimo ou máximo.
Passo 2
Para o interior do triângulo, calculamos o gradiente:
Impondo
$$
2x - y = 0,
\
-x + 2y = 0.
\
-x + 2y = 0.
$$
Da primeira equação e substituindo na segunda obtém-se
, o que só é compatível com
. Esse ponto está no vértice do triângulo.
Da primeira equação
Passo 3
Analisamos agora as três arestas:
- Aresta
, : \n que varia de a , com mínimo em e máximo em .
- Aresta, :
É um quadrático com vértice em , onde . Nos extremos e temos . - Aresta
, :
que varia dea , com mínimo em e máximo em .
Passo 4
Comparando todos os valores candidatos — interior
, aresta
, vértices
e
— concluímos que o valor absoluto mínimo é
em
e o valor absoluto máximo é
nos pontos
e
.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
. Máximo absoluto:
em
e
.