Calcule:
integral x(x^2-4)raiz4-x^2 d x

Passo 1

Temos a integral que vamos resolver: integral x,(x^2-4)raiz4-x^2,dx. O conteúdo é integração por substituição, usando manipulação de potências e a mudança de variável u=4-x^2.

Passo 2

Reescrevemos a fração dividindo o numerador:
x(x^2-4)raiz4-x^2 = x^3raiz4-x^2 - 4,xraiz4-x^2
Logo
integral x(x^2-4)raiz4-x^2,dx = integral x^3raiz4-x^2,dx - 4integral xraiz4-x^2,dx

Passo 3

Calculamos integral xraiz4-x^2,dx via substituição u=4-x^2, logo du=-2x,dx e x,dx=-tfrac12du. Temos:
integral xraiz4-x^2,dx = integral -tfrac12duraizu = -tfrac12integral u^-1/2du = -raizu + C1 = -raiz4-x^2 + C1

Passo 4

Agora integral x^3raiz4-x^2,dx: usamos a mesma substituição u=4-x^2 e escrevemos x^2=4-u, x,dx=-tfrac12du. Assim:
integral x^3raiz4-x^2,dx = integral x^2,(x,dx)raizu = integral 4-uraizul(-tfrac12dur) = -tfrac12integrall(4u^-1/2 - u^1/2r)du
Integrando:
-tfrac12l(4cdot2u^1/2 - tfrac23u^3/2r) = -4u^1/2 + tfrac13u^3/2 = -4raiz4-x^2 + tfrac13(4-x^2)^3/2 + C2

Passo 5

Juntando tudo:
integral x(x^2-4)raiz4-x^2,dx = l[-4raiz4-x^2 + tfrac13(4-x^2)^3/2r] - 4l(-raiz4-x^2r) + C
Os termos em raiz4-x^2 se cancelam, sobrando
tfrac13(4-x^2)^3/2 + C

Resposta

tfrac13(4-x^2)^3/2 + C

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