SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
integral cos ^3 x cdot sin x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma integral para resolver:
integral cos^3 x cdot sin x , dx
Estamos trabalhando com integração por substituição, que é uma técnica usada quando conseguimos simplificar uma parte da integral fazendo uma mudança de variável. Vou te mostrar passo a passo como resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Olha só:
integral cos^3 x cdot sin x , dx
Aqui, temos cos^3 x e sin x. Perceba que a derivada de cos x é -sin x, o que está presente na nossa integral. Isso indica que podemos fazer uma substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u para simplificar:
u = cos x
Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x:
du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx
Isso nos ajuda a substituir partes da integral.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original:
integral cos^3 x cdot sin x , dx = integral u^3 cdot ( -du ) = -integral u^3 , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a integral -integral u^3 , du:
-integral u^3 , du = -( u^44 ) + C = -u^44 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos u de volta para a expressão original em termos de x:
-u^44 + C = -(cos x)^44 + C = -cos^4 x4 + C

Resposta

A integral é igual a:
-cos^4 x4 + C

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