Calcule a integral abaixo:
integral 1e^x+e^-x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1e^x + e^-x , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente uma função que envolve exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituições em integrais e manipulação de expressões exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador e^x + e^-x. Sabemos que e^-x é igual a 1e^x, então nossa expressão fica:
e^x + e^-x = e^x + 1e^x = e^2x + 1e^x

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral 1e^x + e^-x , dx = integral 1e^2x + 1e^x , dx = integral e^xe^2x + 1 , dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = e^x. Então, a derivada de u em relação a x é:
du = e^x , dx Rightarrow dx = due^x = duu

Passo 5

Substituímos u e dx na integral:
integral e^xe^2x + 1 , dx = integral uu^2 + 1 cdot duu = integral 1u^2 + 1 , du

Passo 6

A integral integral 1u^2 + 1 , du é uma fórmula padrão que sabemos que é igual a arctan(u) + C, onde C é a constante de integração.
integral 1u^2 + 1 , du = arctan(u) + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original x substituindo u = e^x:
arctan(u) + C = arctan(e^x) + C

Resposta

A integral integral 1e^x + e^-x , dx é igual a arctan(e^x) + C, onde C é a constante de integração.
integral 1e^x + e^-x , dx = arctan(e^x) + C

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