Calcule
integral x raizx^4+3 d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
integral xraizx^4+3,dx
O conteúdo envolve substituição de variável e a fórmula para integrar raizt^2+a^2.

Passo 2

Definimos a substituição
t = x^2, de modo que ,dt = 2x,dx e portanto ,x,dx = tfrac12,dt. Assim, a integral em x se transforma em uma integral em t.

Passo 3

Reescrevendo a integral em t, temos
integral xraizx^4+3,dx = integral raizt^2+3,l(tfrac12,dtr) = tfrac12integral raizt^2+3,dt

Passo 4

Agora usamos a fórmula
integral raizt^2+a^2,dt = tfrac12l(traizt^2+a^2 + a^2lnl(t+raizt^2+a^2r)r) + C
Com a^2=3, obtemos
integral raizt^2+3,dt = tfrac12l(traizt^2+3 + 3lnl(t+raizt^2+3r)r) + C
Aplicando o fator tfrac12, a integral original vira
tfrac12integral raizt^2+3,dt = tfrac14l(traizt^2+3 + 3lnl(t+raizt^2+3r)r) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando t = x^2. Assim, a antiderivada é
tfrac14l(x^2raizx^4+3 + 3lnl(x^2+raizx^4+3r)r) + C

Resposta

14l(x^2raizx^4+3 + 3ln(x^2+raizx^4+3)r) + C

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