Q 80 Seja f(x)=xx-1 uma curva. Se possível, determine, tanto a equação da reta tangente quanto a equação da reta normal a curva no ponto P(2 ; 2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a reta tangente e a reta normal à curva definida por f(x)=xx-1 no ponto P=(2,2). Para isso vamos usar a derivada de f (que nos dá o coeficiente angular da tangente) e depois tomar o negativo do recíproco desse coeficiente para obter a reta normal.

Passo 2

Primeiro confirmamos que P realmente está na curva. Calculamos
f(2)=22-1=2,
então o ponto (2,2) pertence à curva, como desejado.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de f. Usando a regra do quociente,
f(x)=xx-1 Longrightarrow f'(x) =(x-1)cdot1 - xcdot1(x-1)^2 =x-1 - x(x-1)^2 =-1(x-1)^2

Passo 4

O coeficiente angular da reta tangente em x=2 é
mtan = f'(2) = -1(2-1)^2 = -1

Passo 5

Usando a forma ponto-reta (point-slope), a equação da reta tangente em P(2,2) é
y-2 = mtan,(x-2) Longrightarrow y-2 = -1,(x-2) Longrightarrow y = -x + 4

Passo 6

A reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco de mtan, ou seja
mnorm = -1mtan = -1-1 = 1
Logo, sua equação em P(2,2) é
y-2 = 1,(x-2) Longrightarrow y = x

Resposta

Retas no ponto P(2,2):
Tangente: y = -x + 4
Normal: y = x

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