Exercício 18 (S.5.12)

Seja f: R^n R^n de classe C^1 tal que f(0)=0. O ponto 0 é chamado de globalmente estável se for estável e lim t infty varphi(t)=0 para toda solução varphi de x^prime=f(x).
Seja V: R^n R uma função de Liapunov estrita para a equação acima em 0 . Suponha que para cada c>0 dado exista R>0 tal que |x|>R implica V(x)>c, forall x in R^n. Então, 0 é um ponto globalmente estável.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema autônomo
x'=f(x), fin C^1( R^n),;f(0)=0,
e define 0 como globalmente estável se (i) é estável no sentido de Lyapunov e (ii) toda solução varphi(t) satisfaz limttoinftyvarphi(t)=0.
Temos uma função de Liapunov estrita V: R^nto R tal que
  1. V(0)=0, V(x)>0 para xneq0,
  2. dot V(x)=nabla V(x)cdot f(x)<0 para xneq0,
    e além disso V é radialmente não limitada de baixo, ou seja, para cada c>0 existe R>0 tal que
|x|>Rimplies V(x)>c
Queremos provar que 0 é globalmente estável usando essas propriedades.

Passo 2

(Prova da estabilidade no sentido de Lyapunov)
Seja varepsilon>0. Como V é contínua e V(0)=0, o conjunto fechado
xmid |x|<= varepsilon
é compacto e, portanto, V atinge máximo nele. Defina
a=max|x|<= varepsilonV(x)
Note que a>0. Agora use a continuidade de V em 0 para achar de<a>0 tal que
|x|<de<aLongrightarrow V(x)<a
Se começarmos em x(0) com |x(0)|<de<a, então V(x(0))<a. Mas como dot V<0 em xneq0, segue que
Vl(x(t)r)<= Vl(x(0)r)<a,forall t>=0
Pela definição de a, o nível V(x)<a está contido em ,|x|<varepsilon. Logo
|x(t)|<varepsilon,forall t>=0,
mostrando a estabilidade de 0.

Passo 3

(Boundedness e existência global da solução)
Para qualquer condição inicial x(0)=x0, considere c=V(x0). Para esse c R>0 tal que |x|>Rimplies V(x)>c. Mas, novamente pela queda de V ao longo da solução, para todo t>=0 temos
Vl(x(t)r)<= V(x0)=c,
ou seja, |x(t)|<= R e a trajetória fica contida em um conjunto compacto. Isso evita blow-up em tempo finito e garante que x(t) está bem definida para todo t>=0.

Passo 4

(Atratividade global via LaSalle)
Como V(x(t)) é decrescente e limitada inferiormente (por 0), existe
ell=limttoinftyVl(x(t)r)>=0
O conjunto onde dot V(x)=0 é justamente 0, pois V é estrita. Pelo Princípio de Invariância de LaSalle, a omega–limit set de x(t) está contida em 0. Logo
limttoinftyx(t)=0,
isto é, 0 é atrativo para toda condição inicial.

Resposta

Com isso mostramos que 0 é estável (Passo 2) e que toda solução tende a 0 (Passos 3–4). Portanto 0 é ponto globalmente estável.

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