Exercício 18 (S.5.12)
Seja
de classe
tal que
. O ponto 0 é chamado de globalmente estável se for estável e
para toda solução
de
.
Seja
uma função de Liapunov estrita para a equação acima em 0 . Suponha que para cada
dado exista
tal que
implica
. Então, 0 é um ponto globalmente estável.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema autônomo
e define 0 como globalmente estável se (i) é estável no sentido de Lyapunov e (ii) toda solução
satisfaz
.
Temos uma função de Liapunov estrita tal que
Temos uma função de Liapunov estrita
-
, para , -
para ,
e além dissoé radialmente não limitada de baixo, ou seja, para cada existe tal que
Queremos provar que 0 é globalmente estável usando essas propriedades.
Passo 2
(Prova da estabilidade no sentido de Lyapunov)
Seja . Como
é contínua e
, o conjunto fechado
Seja
é compacto e, portanto,
atinge máximo nele. Defina
Note que
. Agora use a continuidade de
em
para achar
tal que
Se começarmos em
com
, então
. Mas como
em
, segue que
Pela definição de
, o nível
está contido em
. Logo
mostrando a estabilidade de 0.
Passo 3
(Boundedness e existência global da solução)
Para qualquer condição inicial , considere
. Para esse
há
tal que
. Mas, novamente pela queda de
ao longo da solução, para todo
temos
Para qualquer condição inicial
ou seja,
e a trajetória fica contida em um conjunto compacto. Isso evita blow-up em tempo finito e garante que
está bem definida para todo
.
Passo 4
(Atratividade global via LaSalle)
Como é decrescente e limitada inferiormente (por 0), existe
Como
O conjunto onde
é justamente
, pois
é estrita. Pelo Princípio de Invariância de LaSalle, a omega–limit set de
está contida em
. Logo
isto é, 0 é atrativo para toda condição inicial.
Resposta
Com isso mostramos que 0 é estável (Passo 2) e que toda solução tende a 0 (Passos 3–4). Portanto 0 é ponto globalmente estável.