Calcule:
integral x^3 sen x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^3sin(x^2),dx. O conteúdo principal aqui é usar uma substituição para simplificar a potência junto do seno e depois, se necessário, aplicar integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x^2, então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12du. Note que x^3dx = x^2cdot x,dx = ucdot tfrac12du. Portanto a integral vira
integral x^3sin(x^2),dx = integral usin(u)cdot tfrac12,du = tfrac12integral usin(u),du

Passo 3

Para resolver integral usin(u),du usamos integração por partes. Escolhemos U = u e dV = sin(u),du. Então
dU = du e V = -cos(u), pois a derivada de cos(u) é -sin(u). A fórmula de partes diz:
integral U,dV = U,V - integral V,dU

Passo 4

Aplicando aqui:
integral usin(u),du = ul(-cos(u)r) - integral l(-cos(u)r),du = -ucos(u) + integral cos(u),du

Passo 5

E integral cos(u),du = sin(u). Logo
integral usin(u),du = -ucos(u) + sin(u) + C

Passo 6

Voltando à nossa integral original com o fator tfrac12 e u = x^2:
integral x^3sin(x^2),dx = tfrac12l(-ucos(u) + sin(u)r) + C = -tfrac12x^2cos(x^2) + tfrac12sin(x^2) + C

Resposta

-tfrac12x^2cos(x^2) + tfrac12sin(x^2) + C

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