Determine o vetor posição r(t)= (x(t), y(t)) de uma partícula em movimento sabendo que o vetor tangente em cada ponto da sua trajetória é igual a nabla f(x, y), sendo f(x, y)=25-x^2-y^2 e que no instante inicial do movimento a partícula se encontra no ponto (1, 1). [resp.: r(t)=(e^-2 t, e^-2 t)]

Passo 1

No primeiro passo, resumimos que precisamos encontrar o vetor posição vec r(t)=(x(t),y(t)) tal que o vetor tangente vec r'(t) seja igual ao gradiente de f(x,y)=25 - x^2 - y^2, com condição inicial vec r(0)=(1,1). Isso é um problema de EDO de primeira ordem.

Passo 2

Para usar a definição de gradiente, calculamos nabla f(x,y)=(partial f/partial x,,partial f/partial y). Aplicando em f, obtemos partial f/partial x=-2x e partial f/partial y=-2y, logo nabla f(x,y)=(-2x,-2y).

Passo 3

Igualando o vetor tangente ao gradiente, montamos o sistema de EDOs separáveis: dot x=-2x e dot y=-2y. Cada equação é linear de primeira ordem com coeficiente constante.

Passo 4

Conhecendo a solução geral de dot u=a u como u(t)=C e^a t, para a=-2 temos as soluções gerais x(t)=C1 e^-2t e y(t)=C2 e^-2t.

Passo 5

Usando a condição inicial em t=0: x(0)=C1=1 e y(0)=C2=1. Assim, os constantes de integração são C1=C2=1.

Passo 6

Finalmente, ao substituir C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular que descreve o movimento da partícula.

Resposta

vec r(t)=(e^-2t,e^-2t)

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