Determine o vetor posição
de uma partícula em movimento sabendo que o vetor tangente em cada ponto da sua trajetória é igual a
, sendo
e que no instante inicial do movimento a partícula se encontra no ponto (1, 1). [resp.:
Passo 1
No primeiro passo, resumimos que precisamos encontrar o vetor posição
tal que o vetor tangente
seja igual ao gradiente de
, com condição inicial
. Isso é um problema de EDO de primeira ordem.
Passo 2
Para usar a definição de gradiente, calculamos
. Aplicando em
, obtemos
e
, logo
.
Passo 3
Igualando o vetor tangente ao gradiente, montamos o sistema de EDOs separáveis:
e
. Cada equação é linear de primeira ordem com coeficiente constante.
Passo 4
Conhecendo a solução geral de
como
, para
temos as soluções gerais
e
.
Passo 5
Usando a condição inicial em
:
e
. Assim, os constantes de integração são
.
Passo 6
Finalmente, ao substituir
e
na solução geral, obtemos a solução particular que descreve o movimento da partícula.