A região sob o gráfico de y=x16-x^2 no intervalo [0, 2 é girado em torno do eixo y. Encontre o volume do sólido gerado.

Passo 1

O enunciado diz que temos a região limitada por y=dfracx16-x^2, o eixo x e as retas x=0 e x=2. Vamos girar essa região em torno do eixo y e calcular o volume do sólido gerado. O conteúdo que vamos usar é o método das cascas cilíndricas para volumes de revolução.

Passo 2

Para usar cascas cilíndricas, lembramos que a fórmula é V=integrala^b2pi,(raio),(a. Aqui o raio da casca é x e a altura é y=dfracx16-x^2. Assim montamos:
V=2piintegral0^2xcdotx16-x^2,dx=2piintegral0^2x^216-x^2,dx

Passo 3

Para integrar dfracx^216-x^2, vamos escrever
x^216-x^2=x^2-16+1616-x^2=-1+1616-x^2
Isso transforma o integral em:
integral0^2x^216-x^2,dx=integral0^2(-1),dx+16integral0^2116-x^2,dx

Passo 4

Calculamos cada parte separadamente.
Primeiro, integral0^2(-1),dx=-x|0^2=-2
Depois, usamos a primitiva
integral116-x^2,dx=18lnl|4+x4-xr|+C
Então
16integral0^2116-x^2,dx=16cdot18ln4+ x4- x|0^2=2ln62=2ln3

Passo 5

Somando as partes, o integral vale
(-2)+2ln3=2ln3-2
Multiplicando por 2pi, obtemos
V=2pi,(2ln3-2)=4pi(ln3-1)

Resposta

4pi(ln3-1)

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