Calcule integral e^4 x sen(6 x) d x.

Passo 1

Neste exercício temos que calcular a integral integral e^4xsin(6x),dx. O conteúdo aqui é integração de produtos entre exponencial e trigonométrica, e vamos usar o método de integração por partes duas vezes para chegar a uma equação para a integral.

Passo 2

Definimos I = integral e^4xsin(6x),dx. Aplicando integração por partes com u = sin(6x) e dv = e^4xdx, temos du = 6cos(6x),dx e v = e^4x4. Então
I = e^4x4sin(6x) - 64integral e^4xcos(6x),dx
Chamamos essa outra integral de J = integral e^4xcos(6x),dx.

Passo 3

A próxima etapa é calcular J. De novo por partes, escolhemos u = cos(6x), dv = e^4xdx, de modo que du = -6sin(6x),dx e v = e^4x4. Assim
J = e^4x4cos(6x) + 64integral e^4xsin(6x),dx = e^4x4cos(6x) + 64I

Passo 4

Voltando à expressão de I, substituímos J:
I = e^4x4sin(6x) - 64l(e^4x4cos(6x) + 64Ir)
Simplificando, obtemos (1 + tfrac6^24^2)I = e^4x4sin(6x) - 6e^4x16cos(6x), isto é tfrac134I = e^4x4sin(6x) - 6e^4x16cos(6x).

Passo 5

Por fim, isolamos I: multiplicando ambos os lados por tfrac413 e simplificando frações, chegamos a
I = e^4x26l(2sin(6x) - 3cos(6x)r) + C
Este é o resultado desejado.

Resposta

e^4x26l(2sin(6x) - 3cos(6x)r) + C

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