Calcule a diferencial (notação clássica) da função
Passo 1
O enunciado pede para calcular a diferencial da função $z = y \cos^2 x$. Identificamos que é diferencial total de uma função de duas variáveis, então precisamos das derivadas parciais $\partial z/\partial x$ e $\partial z/\partial y$.
Passo 2
Na derivada parcial em relação a x, fixamos y e aplicamos a regra da cadeia. Temos:
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot 2\cos x \cdot(-\sin x) = -2y\cos x\sin x
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot 2\cos x \cdot(-\sin x) = -2y\cos x\sin x
$$
Passo 3
Para a derivada parcial em relação a y, fixamos x. Como $z = y \cos^2 x$, a derivada é:
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \cos^2 x
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \cos^2 x
$$
Passo 4
Agora montamos a diferencial total usando a fórmula:
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = -2y\cos x\sin x\,dx + \cos^2 x\,dy
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = -2y\cos x\sin x\,dx + \cos^2 x\,dy
$$
Resposta
$dz = -2y \cos x \sin x\,dx + \cos^2 x\,dy$