Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite: raiz2 n+3-raiz2 n-3n >= 2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por raiz2n + 3 - raiz2n - 3 para todo n >= 2. O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Caso ela converja, precisamos achar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar métodos de limite de sequências e algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o comportamento da sequência quando n cresce muito, ou seja, quando n tende ao infinito. As expressões dentro das raízes quadradas são 2n + 3 e 2n - 3. Para valores grandes de n, o termo 3 ou -3 se torna quase insignificante comparado a 2n. Então, podemos aproximar que:
raiz2n + 3 approx raiz2n e raiz2n - 3 approx raiz2n
Isso nos dá uma ideia de que a sequência tende a se aproximar de zero, mas vamos confirmar isso rigorosamente.

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos racionalizar a expressão original. Racionalizar significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada para eliminar as raízes no numerador. O conjugado de raiz2n + 3 - raiz2n - 3 é raiz2n + 3 + raiz2n - 3. Então, fazemos:
raiz2n + 3 - raiz2n - 3 = (raiz2n + 3 - raiz2n - 3)(raiz2n + 3 + raiz2n - 3)raiz2n + 3 + raiz2n - 3

Passo 4

Multiplicando as expressões no numerador usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2, temos:
(raiz2n + 3)^2 - (raiz2n - 3)^2 = (2n + 3) - (2n - 3) = 6
Então, a expressão simplifica para:
6raiz2n + 3 + raiz2n - 3

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite dessa fração quando n tende ao infinito. Observamos que tanto raiz2n + 3 quanto raiz2n - 3 crescem sem limite conforme n aumenta. Podemos aproximar cada uma delas por raiz2n para simplificar:
raiz2n + 3 + raiz2n - 3 approx raiz2n + raiz2n = 2raiz2n
Portanto, a expressão fica:
62raiz2n = 3raiz2n

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de 3raiz2n quando n tende ao infinito. Conforme n aumenta, raiz2n também cresce sem limite, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero:
limn to infty 3raiz2n = 0
Isso confirma que a sequência converge para zero.

Resposta

A sequência raiz2n + 3 - raiz2n - 3n >= 2 converge, e o seu limite é 0.

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