Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
para todo
. O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Caso ela converja, precisamos achar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar métodos de limite de sequências e algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o comportamento da sequência quando
cresce muito, ou seja, quando
tende ao infinito. As expressões dentro das raízes quadradas são
e
. Para valores grandes de
, o termo
ou
se torna quase insignificante comparado a
. Então, podemos aproximar que:
Isso nos dá uma ideia de que a sequência tende a se aproximar de zero, mas vamos confirmar isso rigorosamente.
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos racionalizar a expressão original. Racionalizar significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada para eliminar as raízes no numerador. O conjugado de
é
. Então, fazemos:
Passo 4
Multiplicando as expressões no numerador usando a identidade
, temos:
Então, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite dessa fração quando
tende ao infinito. Observamos que tanto
quanto
crescem sem limite conforme
aumenta. Podemos aproximar cada uma delas por
para simplificar:
Portanto, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Conforme
aumenta,
também cresce sem limite, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero:
Isso confirma que a sequência converge para zero.
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é
.