Nos itens abaixo, determine y^prime sendo que y é dada implicitamente como função de x.
x^3 y^5+5 x^2+y+x=1.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma equação onde $ y $ está relacionada com $ x $ de forma implícita:
y
O conteúdo que vamos usar aqui é derivação implícita, que nos ajuda a encontrar $ y’ $ quando $ y $ não está isolado. Vamos precisar lembrar que, ao derivar termos com $ y $, a gente também aplica a regra da cadeia, multiplicando por $ y’ $.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $. Lembre-se que $ y $ é uma função de $ x $, então quando derivamos $ y $, temos que multiplicar por $ y’ $.
Derivando cada termo:
  1. $ \frac{d}{dx}(x^{3} y^{5}) $:
    • Usamos a regra do produto: $ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u’v + uv’ $
    • $ u = x^{3} $ então $ u’ = 3x^{2} $
    • $ v = y^{5} $ então $ v’ = 5y^{4} y’ $
    • Então: $ 3x^{2} y^{5} + x^{3} \cdot 5y^{4} y’ $
  2. $ \frac{d}{dx}(5x^{2}) = 10x $
  3. $ \frac{d}{dx}(y) = y’ $
  4. $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $
Derivando o lado direito:
x

Passo 3

Juntando todas as derivações:
3x^2 y^5 + 5x^3 y^4 y' + 10x + y' + 1 = 0
Agora, queremos isolar $ y’ $. Vamos agrupar os termos que têm $ y’ $ e os que não têm.

Passo 4

Reorganizando a equação:
5x^3 y^4 y' + y' = -3x^2 y^5 - 10x - 1
Fatorando $ y’ $ do lado esquerdo:
y'

Passo 5

Para encontrar $ y’ $, dividimos ambos os lados pela fator comum:
y'

Resposta

A derivada $ y’ $ é:
y'

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