Nos itens abaixo, determine
sendo que
é dada implicitamente como função de
.
.
Passo 1
Beleza! A gente tem uma equação onde $ y $ está relacionada com $ x $ de forma implícita:
O conteúdo que vamos usar aqui é derivação implícita, que nos ajuda a encontrar $ y’ $ quando $ y $ não está isolado. Vamos precisar lembrar que, ao derivar termos com $ y $, a gente também aplica a regra da cadeia, multiplicando por $ y’ $.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $. Lembre-se que $ y $ é uma função de $ x $, então quando derivamos $ y $, temos que multiplicar por $ y’ $.
Derivando cada termo:
-
$ \frac{d}{dx}(x^{3} y^{5}) $:
- Usamos a regra do produto: $ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u’v + uv’ $
- $ u = x^{3} $ então $ u’ = 3x^{2} $
- $ v = y^{5} $ então $ v’ = 5y^{4} y’ $
- Então: $ 3x^{2} y^{5} + x^{3} \cdot 5y^{4} y’ $
-
$ \frac{d}{dx}(5x^{2}) = 10x $
-
$ \frac{d}{dx}(y) = y’ $
-
$ \frac{d}{dx}(x) = 1 $
Derivando o lado direito:
Passo 3
Juntando todas as derivações:
Agora, queremos isolar $ y’ $. Vamos agrupar os termos que têm $ y’ $ e os que não têm.
Passo 4
Reorganizando a equação:
Fatorando $ y’ $ do lado esquerdo:
Passo 5
Para encontrar $ y’ $, dividimos ambos os lados pela fator comum:
Resposta
A derivada $ y’ $ é: