Calcule a integral
integral e^x sen(x) d x
Dica: Utilize o método de integral por partes.

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral indefinida integral e^x sin(x),dx. O conteúdo é integração por partes, utilizando a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos u = sin(x) e dv = e^x,dx. Assim, derivando e integrando, obtemos du = cos(x),dx e v = integral e^x,dx = e^x.

Passo 3

Aplicando a primeira vez a fórmula de integração por partes, temos:
integral e^xsin(x),dx = e^xsin(x) - integral e^xcos(x),dx
Para calcular integral e^xcos(x),dx, aplicamos integração por partes novamente com u = cos(x) e dv = e^x,dx. Então du = -sin(x),dx e v = e^x, resultando em:
integral e^xcos(x),dx = e^xcos(x) + integral e^xsin(x),dx

Passo 4

Denotando I = integral e^xsin(x),dx, substituímos o resultado anterior na expressão de I:
I = e^xsin(x) - l(e^xcos(x) + Ir)
Isolando I na equação obtemos:
2I = e^x(sin(x) - cos(x))
e, portanto:
I = e^x2l(sin(x) - cos(x)r) + C

Resposta

e^x2(sin(x) - cos(x)) + C

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