Exercício 3

Escreva as dizimas 0,121212… e 0,123232323… utilizando frações.

Passo 1

O exercício pede para escrever as dízimas periódicas 0,121212… e 0,123232323… como frações. O conteúdo é conversão de dízimas periódicas em números racionais, e vamos usar manipulação algébrica para eliminar a parte repetida.

Passo 2

Para a primeira dízima, seja x = 0,121212ldots. A repetição “12” tem 2 dígitos, então multiplicamos por 100 para alinhar a parte periódica:
100x = 12,121212ldots
Subtraindo x de 100x eliminamos a repetição:
100x - x = 12,121212ldots - 0,121212ldots
99x = 12
Logo, x = dfrac1299 = dfrac433.

Passo 3

Para a segunda dízima, seja y = 0,123232323ldots. Aqui há uma parte não periódica “1” e depois o período “23” de 2 dígitos. Primeiro multiplicamos por 10 para deslocar a parte não periódica:
10y = 1,23232323ldots
Depois multiplicamos por 100 mais uma vez (total de 1000 no original) para alinhar o período:
1000y = 123,23232323ldots
Subtraindo as duas equações para eliminar a parte repetida:
1000y - 10y = 123,232323ldots - 1,232323ldots
990y = 122
Logo, y = dfrac122990 = dfrac61495.

Resposta

0,121212… = \dfrac{4}{33} e 0,123232323… = \dfrac{61}{495}

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